一名用户最多可以在一家银行办理5个二类账户。根据相关规定，同一人在同一商业银行开立借记卡原则上不得超过4张，社会保障卡、医疗保险卡、军人保障卡、已销户的借记卡除外。且一般条件下，用户在一家银行名下只能办理一个一类账户。

因此，除一类账户外，用户还可以办理3张二类卡，再加上社会保障可和医疗保险卡一共5张，当然用户有特殊情况下，也可向商业银行申诉，商业银行同意后，方可额外办理。